Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 5 \\ 2 & i & 7 \\ i & k^{3} & 8 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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Étape 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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Étape 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} i & 7 \\ k^{3} & 8 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = i \cdot 8 - k^{3} \cdot 7$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$a_{11} = 8 \cdot i - k^{3} \cdot 7$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$a_{11} = 8 i - 7 k^{3}$

Étape 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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Étape 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 7 \\ i & 8 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 8 - i \cdot 7$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$a_{12} = 16 - i \cdot 7$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$a_{12} = 16 - 7 i$

Étape 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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Étape 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & i \\ i & k^{3} \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 k^{3} - i i$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.2.1

Multipliez $- i i$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a_{13} = 2 k^{3} - (i^{1} i)$

Étape 2.3.2.2.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a_{13} = 2 k^{3} - (i^{1} i^{1})$

Étape 2.3.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{13} = 2 k^{3} - i^{1 + 1}$

Étape 2.3.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a_{13} = 2 k^{3} - i^{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$a_{13} = 2 k^{3} - - 1$

Étape 2.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{13} = 2 k^{3} + 1$

Étape 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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Étape 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ k^{3} & 8 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 1 \cdot 8 - k^{3} \cdot 5$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.2.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$a_{21} = 8 - k^{3} \cdot 5$

Étape 2.4.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$a_{21} = 8 - 5 k^{3}$

Étape 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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Étape 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ i & 8 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 8 - i \cdot 5$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.2.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$a_{22} = 24 - i \cdot 5$

Étape 2.5.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$a_{22} = 24 - 5 i$

Étape 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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Étape 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ i & k^{3} \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 k^{3} - i \cdot 1$

Étape 2.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{23} = 3 k^{3} - i$

Étape 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Étape 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ i & 7 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 1 \cdot 7 - i \cdot 5$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.2.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$a_{31} = 7 - i \cdot 5$

Étape 2.7.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$a_{31} = 7 - 5 i$

Étape 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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Étape 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 7 - 2 \cdot 5$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$a_{32} = 21 - 2 \cdot 5$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$a_{32} = 21 - 10$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez $10$ de $21$ .

$a_{32} = 11$

Étape 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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Étape 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 2 & i \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

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Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 i - 2 \cdot 1$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.9.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a_{33} = 3 i - 2$

Étape 2.9.2.2.2

Remettez dans l’ordre $3 i$ et $- 2$ .

$a_{33} = - 2 + 3 i$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 8 i - 7 k^{3} & - (16 - 7 i) & 2 k^{3} + 1 \\ - (8 - 5 k^{3}) & 24 - 5 i & - (3 k^{3} - i) \\ 7 - 5 i & - 11 & - 2 + 3 i \end{array}]$

Étape 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 8 i - 7 k^{3} & - (8 - 5 k^{3}) & 7 - 5 i \\ - (16 - 7 i) & 24 - 5 i & - 11 \\ 2 k^{3} + 1 & - (3 k^{3} - i) & - 2 + 3 i \end{array}]$